Factorización de un binomio.
Al factorizar un binomio se pueden tener dos o más factores como resultado según sea el caso, dependiendo de la pregunta y el conjunto en el cual se está trabajando. Por ahora se supondrá que siempre se está trabajando en los reales \(\mathbb{R}\), y al factorizar el binomio se seguirá el siguiente orden:
1. Considerar factor común m.c.d.
2. Considerar diferencia de cuadrados.
3. Considerar una suma o diferencia de cubos.
4. Considerar una suma o diferencia potencia iguales.
El caso factor común m.c.d. ya ha sido estudiado, por tanto, el análisis inicia considerando el binomio como una diferencia de cuadrados.
2. Diferencia de cuadrados.
Definición: una diferencia de cuadrados es una expresión de la forma \(u^n-v^m.\)
Reglas para factorizar una diferencia de cuadrado:
1. Extraer la raíz cuadrada de ambos términos.
2. Escribir el binomio conjugado (suma por diferencia) de las raíces encontradas, esto es \(u-v=(\sqrt{u}+\sqrt{v})(\sqrt{u}-\sqrt{v}).\)
Un elemento importente a recordar para la resolución de los ejercicios son las propiedades de los radicales. Si \(u,\ v,\ x,\ m\) y \(n\) son positivos, entonces en \(\mathbb{R}\) se cumplen las propiedades siguientes: \begin{align} &1. \ \ \sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}\\ &2. \ \ \sqrt[n]{uv}=\sqrt[n]{u}\sqrt[n]{v}\\ &3. \ \ \sqrt[n]{\frac{u}{v}}=\frac{\sqrt[n]{u}}{\sqrt[n]{v}} \end{align} Recuerde bien estos resultados los necesitará para realizar los ejercicios, como se muestra en algunos de los ejemplos a continuación.
Ejemplo 1. Factorizar la expresión \(w^2-x^2\) $$w^2-x^2=\left(\sqrt{w^2}+\sqrt{x^2}\right)\left(\sqrt{w^2}-\sqrt{x^2}\right)=\left(w+x\right)\left(w-x\right)$$ Ejemplo 2. Factorizar la expresión \(25x^2-4w^2\) $$25x^2-4w^2=\left(\sqrt{25x^2}+\sqrt{4w^2}\right)\left(\sqrt{25x^2}-\sqrt{4w^2}\right)=\left(5x+2w\right)\left(5x-2w\right)$$ Ejemplo 3. Factorizar la expresión \(5x^2-13\) $$5x^2-13=\left(\sqrt5x+\sqrt{13}\right)\left(\sqrt5x-\sqrt{13}\right)$$ Ejemplo 4. Factorizar la expresión \(81-x^2\). $$81-x^2=\left(9+x\right)\left(9-x\right)$$ Ejemplo 5. Para saber más. En sentido estricto, cualquier diferencia de un binomio, puede ser considerada como una diferencia de cuadrados, sin importar si son pares o impares los exponentes, por ejemplo: $$w^3-x^3=(w^\frac32+x^\frac32)(w^\frac32-x^\frac32)$$ La manera de responder dependerá de la pregunta que se ha hecho, para un curso de algebra élemental casí nunca se pide factorizar de una diferencia de cuadrado de esta manera, para un curso de precálculo si es posible.
Para ver la factorización de suma o diferencia de cubos o potencias iguales haga clic en la pestaña correspondiente de la parte de arriba
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3. Suma o diferencia de cubos.
Definición: una suma o diferencia de cubos, es una expresión algebraica en la forma \(w^n+x^m\) o \(w^n-x^m\) donde las potencias de las cantidades son múltiplos de tres. Ejemplos de suma o diferencias de cubos son:
$$\textcolor{#ff0080}{1.}~~w^3-x^3 \ \ \ \ \textcolor{#ff0080}{2.}~~ w^3-8 \ \ \ \ \ \ \textcolor{#ff0080}{3.}~~125-x^6$$ $$\textcolor{#ff0080}{4.}~~ w^3-3\ \ \ \ \ \textcolor{#ff0080}{5.}~~w^{12}+x^6 \ \ \ \ \textcolor{#ff0080}{6.}~~x^{15}+64$$
en la primera expresión \(w^3-x^3\) obviamente, es una diferencia de cantidades elevadas al cubo.
En la segunda expresión note que \(w^3-8=w^3-2^3\)
En la tercera expresión \(125-x^6=5^3-\left(x^2\right)^3\).
En la cuarta expresión \(w^3-3=w^3-\left(\sqrt[3]{3}\right)^3\) (note que \(\sqrt[3]{3}\) no es exacta).
Para \(w^{12}+x^6=\left(w^4\right)^3+\left(x^2\right)^3\) y \(x^{15}+64=\left(x^5\right)^3+4^3\) por tanto, las expresiones son sumas de cubos.
Regla para factorizar una suma o diferencia de cubos:
1. Determinar las raíces cúbicas de los términos dados.
2. Escribir un primer factor con la suma o diferencia de las cantidades encontradas, según sea el caso, y en el segundo factor escribir el cuadrado de la primera cantidad menos (o más según sea suma o diferencia) la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
La descripción algebraica de esta regla se resume a continuación.
Factorización de una suma o diferencia de cubos.
$$w^3+x^3=\left(w+x\right)\left(w^2-wx+x^2\right)$$ $$w^3-x^3=\left(w-x\right)\left(w^2+wx+x^2\right)$$
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Suma o diferencia de dos potencias de igual exponentes.
Definición: una suma o diferencia de dos potencias de igual exponentes, es una expresión en la forma \(u^n+v^n\ ~~ó~~ u^n-v^n\).
Los casos para \(n=2\) y \(n=3\) ya han sido estudiado, corresponden a los casos de diferencia de cuadraddos y suma o diferencia de cubos.
Para los casos en que \(n\) es mayor que tres, proceder como sigue:
1. Si \(n\) es par en \(u^n-v^n\) factorizar como una diferencia de cuadrados, y continuar la factorización según el resultado hasta expresar en su forma más simple.
2. Si \(n\) es impar y a la vez múltiplo de tres en \(u^n-v^n\) o \(u^n+v^n\) factorizar como una suma o diferencia de cubos, y continuar hasta expresar en su forma más simple.
3. Si \(n\) es impar y no es múltiplo de tres en \(u^n-v^n\) o \(u^n+v^n\) factorizar en la forma
\(u^n-v^n=\left(u-v\right)\left(u^{n-1}+u^{n-2}v+u^{n-3}v^2+\cdots+uv^{n-1}+v^n\right)\)
\(u^n+v^n=\left(u+v\right)\left(u^{n-1}-u^{n-2}v+u^{n-3}v^2-\cdots-uv^{n-1}+v^n\right)\)
4. Si \(n\) es par en \(u^n+v^n\) el binomio no es factorizable en \mathbb{R}.
Note que en 4 y 5 los exponentes de \(u\) van descendiendo y los de \(v\) ascendiendo. Además, en \(u^n+v^n\) los signos del segundo factor son alternados (positivo, negativo, positivo…).
Ejemplo. Factorizar \(w^5+x^5\)
Solución: se tiene la forma \(u^n+v^n=\left(u+v\right)\left(u^{n-1}-u^{n-2}v+u^{n-3}v^2-\cdots-uv^{n-1}+v^n\right)\) de donde,
$$w^5+x^5=\left(w+x\right)\left(w^4-w^3x+w^2x^2-wx^3+x^4\right)$$
Ejemplo. Factorizar \(w^6-x^6\)
Solución:
\begin{align}
&w^6-x^6=\left(w^3-x^3\right)\left(w^3+x^3\right)\\
&w^6-x^6=\left(w+x\right)\left(w^2-wx+x^2\right)\left(w-x\right)\left(w^2+wx+x^2\right)\\
&w^6-x^6=\left(w-x\right)\left(w+x\right)\left(w^2-wx+x^2\right)\left(w^2+wx+x^2\right)\end{align}
Ordenando factores de manera ascendente.
Ejemplo Factorizar \(x^4-\pi^4\)
Solución:
\begin{align}
&x^4-\pi^4=(x^2-\pi^2)(x^2+\pi^2)\\
&x^4-\pi^4=(x-\pi)(x+\pi)(x^2+\pi^2)\\
\end{align}
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Un resultado interesante. El área de un terreno rectangular está dada por la expresión \(A=x^2-5\). Determine si el terreno es un cuadrado.